SILOGISMO HIPOTETICO (S:H) y SILOGISMO DISYUNTIVO (S.D) O MODUS TOLLENDO PONENS (MPP)

SILOGISMO  HIPOTETICO: esta ley habla de la reacción a una posible suceso. y es un argumento que se expresa simbólicamente así :

( p → q ) ˄ (q → r ) →  ( p → r )

p → q Se lee : si p entonces q

q → r Se lee : si q entonces r

\ p → r Se lee : de donde

si p entonces r

Premisa 1. Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales.

Premisa 2. Si las moléculas forman cristales, entonces el agua aumenta de

volumen.

Conclusión. Si el agua se hiela, entonces el agua aumenta de volumen.

Simbólicamente:

p: El agua se hiela

q: Sus moléculas forman cristales

r: El agua aumenta de volumen

SILOGISMO DISYUNTIVO: Si una disyunción es verdadera y una de sus proposiciones simples es falsa, entonces necesariamente la otra proposición será verdadera.

su expresión simbólica es: 
( p ˅ q ) ˄ ¬p → q o
( p ˅q ) ˄ ¬q → p

p → q

~ p

\q

Premisa 1: O la energía interna de un átomo puede cambiar con continuidad o

cambia sólo a saltos.

Premisa 2: La energía interna de un átomo no puede cambiar con continuidad

Conclusión: La energía interna de un átomo cambia sólo a saltos.

Simbólicamente:

p: La energía de un átomo puede cambiar con continuidad

q: La energía de un átomo sólo cambia a saltos

Premisa 1: p v q

Premisa 2: ~ p

Conclusión: p

MODUS TOLLENS (M.T) O MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT)

Esta regla de inferencia dice que si una implicación es verdadera y su consecuente es falso, entonces su antecedente será necesariamente falso; simbólicamente se expresa así:

( p→ q ) ˄ ¬q ˄ ¬p

p → q Se lee : si p entonces q

~ q Se lee : ocurre ~q

\ ~ p Se lee : de donde ~p

POR EJEMPLO:

#1

si hay sol entonces hace calor

no hay sol

no hace calor 

#2

Premisa 1: Si un ángulo de un triángulo es mayor de 90º, entonces la suma

de los otros dos ángulos es menor de 90º.

Premisa 2: La suma de los otros dos ángulos no es menor de 90º.

Conclusión: Un ángulo de un triángulo no es mayor de 90º.Simbólicamente:

p: Un ángulo de un triángulo es mayor de 90º.

q: La suma de los otros dos ángulos es menor de 90º.

Premisa 1: p → q

Premisa 2: ~ q

Conclusión: ~ p

(INFERENCIAS LOGICAS) MODUS PONENS (M.P) O MODUS PONENDO PONENS (MPP)

¿Cómo interpretar esta ley?
observa el siguiente ejemplo:
Daniel escucha la siguiente afirmación “Si llueve hace frío”
En la siguiente “escena”, Daniel observa llover, es decir “llueve”

¿Qué puede concluir Daniel? 
Que hará frío, es decir “hace frío” Para obtener tan “obvia” conclusión, Daniel ha utilizado la más común de lasinferencias lógicas, la cual denominaremos MPP ó Modus Ponendo Ponens.En este ejemplo, las proposiciones simples son:

p = llueve

q = hace frío

Ejemplo 1
Las proposiciones así declaradas, nos permiten expresar en lenguaje natural lo
expresado en lenguaje simbólico así:
p → q que equivale a: Si llueve hace frío

Así que nuestro ejemplo puede ser representado en el lenguaje simbólico de la
siguiente manera:

p → q Se lee : si p entonces q

p Se lee : ocurre p

\q Se lee : de donde q

El símbolo \ (de donde) representa la conclusión de las premisas dadas;es decir que la conclusión, en este caso, es la proposición q
Modus Ponens (M. P)

1-Si llueve hace frío

2-llueve

3-luego Hace frío

LEYES DEL ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

TAUTOLOGIA

es una función lógica que es verdadera para
todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de sus premisas  por ejemplo: 
la proposición( p˄q)→p es una tautología, para demostrarlo,debemos construir la tabla de verdad y verificar que efectivamente la función lógica es

verdadera para todos los casos:

p	q	(p ˄q)	→p
V	v	V	v
V	f	F	v
f	v	f	v
f	F	f	v

TAUTOLOGIA TRIVIAL: Esta tautología establece que cualquier proposición es equivalente a sí misma, esto es p ↔ p . Veamos la tabla de verdad correspondiente.

p	P↔p
V	V
F	V

DOBLE NEGACIÓN: Demostraremos que las proposiciones p y la proposición ¬(¬p) son lógicamente

equivalentes. Para lograrlo construiremos la tabla de verdad de la proposición P↔¬(¬p)

p	¬P	¬(¬P)	p«¬(¬p)
V	F	V	V
F	V	F	V

COMO CONSTRUIR UNA TABLA DE VERDAD

PARA CONSTRUIR UNA TABLA DE VERDAD SE DEBEN SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS.

Paso 1: Identifica las proposiciones simples  que se encuentran  en el razonamiento lógico:
p, q

Paso 2: De acuerdo al número total de proposiciones simples se determina la cantidad de

combinaciones posibles entre los valores de verdad de las proposiciones simples.
en el caso de tener dos (2) proposiciones simples, sólo hay cuatro
(4) casos posibles por ejemplo:

p	q
V	V
V	F
F	V
f	f

¿Cuántos casos posibles tendremos para la proposición

compuesta: ( p  ˄q) ˅ r  ?

El primer paso será identificar el número de proposiciones simples:

p, q, r

Si lo analizamos detenidamente, hay dos posibilidades para la p (V, F), también

hay dos posibilidades para la q (V, F) y dos posibilidades para la r (V, F):

Luego, el número de combinaciones posibles será de: 2 x 2 x 2 = 23 = 8

p	q	r
V	v	V
V	V	F
v	F	V
v	F	f
F	V	V
F	V	F
F	F	V
f	F	f

Paso 3: Se hace un recorrido desde adentro hacia afuera de acuerdo a los signos de

agrupación:

.

Los signos de agrupación que encontraremos en una fórmula proposicional

sigue el orden:

{
 ( {
 (....)  } )  }..

Paso 4: Se identifica el conectivo que aparece dentro del paréntesis, en el ejemplo

propuesto ( p  ˄q) ˅ r

,

este conectivo es la conjunción y disyunción

Paso 5: Se precisa el término de enlace que precede al paréntesis, en ciertos casos la 

 negación.

Paso 6: Se elabora la tabla con el número de columnas determinado por:

 Proposiciones que intervienen

 Conectivos utilizados dentro del paréntesis

 Conectivo utilizado fuera del paréntesis

p	q	r	( p  ˄q)	( p  ˄q)˅ r
V	v	V	V	V
V	V	F	V	V
v	F	V	F	V
v	F	f	F	F
F	V	V	F	V
F	V	F	F	F
F	F	V	F	V
f	F	f	f	f

EL BICONDICIONAL  "↔"  (SI Y SOLO SI)
se denomina bicondicional a la proposición formada por dos proposiciones simple conectadas por la expresión  "si y solo si ".
esta formado  por las p→q y q →p la cuales deben tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q.

(asumiendo que las dos proposiciones simples son verdaderas ) 

si y solo si es un día soleado entonces hace calor 

1)si y solo si es un día soleado entonces  hace calor =  p↔q
a) ambas proposiciones se cumplen por lo tanto la proposición compuesta  es verdadera 

2))si es un día soleado pero  no hace calor =   p↔q
a)en este caso solo una de las proposiciones simples se cumplen lo que de acuerdo con la expresión  "si y solo si es un día soleado entonces hace calor  NO debería darse por lo tanto tal  proposición compuesta  (p↔q)              

3))no es un día soleado pero  hace calor = p↔q
a) en este caso solo una de las proposiciones simples se cumplen lo que de acuerdo con la expresión  "si y solo si es un día soleado entonces hace calor  NO debería darse por lo tanto tal  proposición compuesta  (p↔q)     
4))no es un día soleado entonces no hace calor  =p↔q
a) en este caso ninguna de  las dos proposiciones simples se cumplen por lo que no se contradice con la expresión  "si y solo si es un día soleado entonces hace calor" por lo tanto la proposición compuesta es verdadera 

p	q	p↔q
V	V	v
V	F	f
F	V	f
f	f	v